线性代数复习笔记

暑期自习的时候顺便把这学期线性代数学习的知识点汇总整理一下,顺便测试一下markdown的支持情况


n维向量

概念

  • 定义1:由数\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n组成的有序数组,称为n维向量,简称为向量。
  • 定义2:向量的模:||a||=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_3^2}

n维向量的线性运算

  • 加法
  • 减法
  • 数乘

线性组合

  • 设向量\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,若存在一组数k_1,k_2,...k_m使\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m,则称向量\beta可由向量\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性表示,或称向量\beta是它们的线性组合

    向量组的等价

  • 设有两个n维向量组,I和II,若I中每个向量都可由向量组II线性表示,则称向量组I可由向量组II线性表示;若它们可以相互线性表示,则称它们等价
  • 向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性
  • 等价的向量组有相同的秩,反过来不一定成立

线性相关性

定义

设向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,若存在一组不全为零的数k_1,k_2,...k_m使 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0,则称向量组线性相关,否则称向量组线性无关

  • 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线性相关,否则线性无关
  • 两个向量时,线性相关的充要条件是其对应分量成比例
  • 任一含有零向量的向量组线性相关

相关性的判定定理

定理一 向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m>=2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1向量线性表示

定理二 设向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m>=2)线性无关,而向量组\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性相关,则\beta可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性表示且表示式唯一

定理三 在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关,则整个向量组也必定线性相关。逆定理不对

  • 推论 一个线性无关的向量组任何非空的部分向量组都线性无关

定理四 m个n维向量\alpha_i=(\alpha_i1,\alpha_i2,...,\alpha_im),(i=1,2,...)线性相关的充要条件是由αi构成的矩阵的秩r(A) < m

  • 推论1 当m>n时,m个n维向量线性相关 (秩取m与n中最小的一个)
  • 推论2 任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵的秩r(A)=m
  • 推论3 任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于0,或r(A)=n (克莱姆法则)
  • 推论4 任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零,或r(A)< n (克莱姆法则)

定理五 若m个r维向量线性无关,则对应m个r+1维向量也线性无关

  • 即线性无关的向量组,添加分量后仍旧线性无关

向量组的极大无关组

定义一 设向量组T的部分向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r满足:
(1)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关;
(2) T中向量均可由\alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示,
或T中任一向量\alpha, 有\alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性相关,则称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r是向量组T的一个极大线性无关组,简称极大无关组。

  • 两层含义:1.无关性 2.极大性
  • 线性无关向量组的极大无关组就是其本身
  • 向量组与其极大无关组等价;
  • 同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的,且所含个数相同

定理1:设有两个n维向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\beta_1,\beta_2,...,\beta_s,若向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关,且可由向量组\beta_1,\beta_2,...,\beta_s线性表示,则 r<=s

  • 推论1:若向量组α₁,α₂,...,αr可由向量组β₁,β₂,...,βs线性表示,且r>s,则向量组α₁,α₂,...,αr线性相关
  • 推论2:任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。

定理2:一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。

极大无关组的求法:列摆行变换法

  • 列摆行变换将矩阵化为梯形阵后,秩即求出来了。这时,只要在每一高度上取一个向量,相同高度取左,即可得到极大无关组。
  • 行摆行变换不行

向量组的秩

定义:向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩,记为r(α₁,α₂,...,αm)

  • 线性无关的向量组的秩=向量的个数
  • 向量组线性无关 等价于 秩=向量个数。

定理3:若α₁,α₂,...,αm可由β₁,β₂,...,βs线性表示,则r(α₁,α₂,...,αm) <= r(β₁,β₂,...,βs)

定理4 :矩阵的行秩与列秩相等,为矩阵的秩。

  • 推论:向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。

求向量组秩的方法:先将向量组构成一个矩阵,然后求矩阵的秩,这个秩就是向量组的秩。

向量空间

向量空间及其子空间

定义1(运算的封闭性)设V是n维向量的非空集合,称V对于向量加法及数乘两种运算封闭,如果\forall \alpha,\beta \in V,k \in R \Rightarrow \alpha + \beta \in V ,k\alpha \in V成立

定义2 设V是n维向量的非空集合,如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。

W,V为向量空间,若W \subset V,则 称WV的子空间。

向量空间的基与维数

定义3 若n维向量空间V中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r满足
(1)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关
(2)V中向量均可用\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示
则称它们为V的一个

定义4 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数

  • 向量组的极大无关组和秩
  • 若将向量空间视作向量组,则基就是向量组的极大线性无关组,维数就是向量组的秩。
  • 基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法。

定义5 向量在基下的坐标

  • 向量在一组确定的基下的坐标是惟一的
  • 向量空间的基不惟一。因此,向量在不同基下的坐标也不一样
  • 向量在一组基下的坐标求法:待定系数法与矩阵方程法

向量组的正交性

定义1:设有向量α=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n),β=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n), \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + ... + \alpha_n \beta_n称为向量α与β的内积,记为(α,β)

定义2: 若 (\alpha,\beta) =0,则称向量\alpha\beta正交。

定义3:如果m个n维非零向量\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m两两正交,即满足(\alpha_i,\alpha_j)=0,(i \neq j)则称向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m为正交向量组,简称正交组。

定理:正交向量组线性无关

  • 线性无关的向量组不一定是正交组;但可以通过正交规范化化为正交组

向量组的正交规范化:(施密特法)

\beta_m = \alpha_m - \frac{(\alpha_m,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_m,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 - ... - \frac{(\alpha_m,\beta_{m-1})}{(\beta_{m-1},\beta_{m-1})} \beta_{m-1}

  • 先正交化,再单位化

定义4:若n阶方阵A满足 A^T A=E,则称A为n阶正交矩阵(正交阵)

  • 性质:

    1. 若A为n阶正交矩阵,A的行列式=+-1
    2. 若A为n阶正交矩阵,A^T 与A^-1 也是正交矩阵
    3. 若A,B为n阶正交矩阵,AB与BA也是正交矩阵
  • 方便做逆

  • 判定:

    1. 定义运算
    2. 定理

定理:矩阵A=(a_{ij})_{n*n} 为正交矩阵 \Leftrightarrow A的行(列)向量组为单位正交向量组


Markdown好是好看,就是写起来太麻烦了,我是从这学期做笔记的思维导图上整理到博客来的,结果光上面这一小篇就写了一晚上....想弃坑了

线性方程组


相似对角形


二次型


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