工科数学分析笔记-级数(1)

前述:这些笔记都是平时上网课没书记下来的,很多只是复述了一遍,偶尔插了些想法进来,如有错误,指出即可。勿喷

工科数学分析笔记-级数(1)

1.数项级数

    1.1 数项级数介绍

1.数项级数定义为部分和的极限

2.数项级数收敛\Rightarrow数项的极限为0(逆否命题也有用)

       对比:无穷积分收敛\Rightarrow无穷远处函数趋于0或发散

3.级数的加法线性性质同样可以建立在部分和的极限去理解

4.加法结合律的推广——级数收敛加括号后也收敛,且和不变(逆否命题也有用)

实质:加括号即为提出子列——收敛数列子列必收敛

(*?任意加括号后的级数均收敛于同一值,则估计原级数收敛)(忽略该行)

同理,可以利用子列收敛与原列收敛的关系来判定级数收敛性,特别地,奇数下标部分和和偶数下标部分和常用(不是奇/偶数下标子列的部分和),且相邻奇部分和和偶部分和差为某一数项,可以有一定联系。

5.特别地,某一种加括号法使得每个括号内的各项符号相同,则加括号后收敛则原级数收敛且于同一值。

实质:夹逼定理

6.Cauchy收敛原理

7.与极限类似,去掉、增添有限项不改变级数收敛性,但可以改变级数收敛的值

常见级数:等比(几何)级数,p级数,带\lnp级数

收敛的几何级数收敛速度快于收敛的p级数

1.2 正项级数敛散性

1.正项级数的特点:级数单调递增(不一定严格),项可以等于0

正项级数有界\Leftrightarrow收敛于上确界(有界即收敛)

正项级数无界\Leftrightarrow发散于正无穷

2.正项级数的比较判别法:(从某个N往后成立即可)

       不等式形式:小散大散,大收小收 (从某个N往后成立即可)

       实质:有界与无界的传递

极限形式:比的极限为l

1)l=+\infty 下散上散

2)l=0  下收上收

3) 0\lt l \lt +\infty 上下同敛散

比的比较判别法: \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} 进行比较

常用Taylor展开来搞。

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