前述：这些笔记都是平时上网课没书记下来的，很多只是复述了一遍，偶尔插了些想法进来，如有错误，指出即可。勿喷

工科数学分析笔记-级数（1）

1.数项级数

1.数项级数定义为部分和的极限

2.数项级数收敛 $Rightarrow$ 数项的极限为0（逆否命题也有用）

对比：无穷积分收敛 $Rightarrow$ 无穷远处函数趋于0或发散

3.级数的加法线性性质同样可以建立在部分和的极限去理解

4.加法结合律的推广——级数收敛加括号后也收敛，且和不变（逆否命题也有用）

实质：加括号即为提出子列——收敛数列子列必收敛

(*?任意加括号后的级数均收敛于同一值，则估计原级数收敛)(忽略该行)

同理，可以利用子列收敛与原列收敛的关系来判定级数收敛性，特别地，奇数下标部分和和偶数下标部分和常用（不是奇/偶数下标子列的部分和），且相邻奇部分和和偶部分和差为某一数项，可以有一定联系。

5.特别地，某一种加括号法使得每个括号内的各项符号相同，则加括号后收敛则原级数收敛且于同一值。

实质：夹逼定理

6.Cauchy收敛原理

7.与极限类似，去掉、增添有限项不改变级数收敛性，但可以改变级数收敛的值

常见级数：等比（几何）级数， $p$ 级数，带 $ln$ 的 $p$ 级数

收敛的几何级数收敛速度快于收敛的 $p$ 级数

1.正项级数的特点：级数单调递增（不一定严格），项可以等于0

正项级数有界 $Leftrightarrow$ 收敛于上确界（有界即收敛）

正项级数无界 $Leftrightarrow$ 发散于正无穷

2.正项级数的比较判别法：（从某个N往后成立即可）

不等式形式：小散大散，大收小收 （从某个N往后成立即可）

实质：有界与无界的传递

极限形式：比的极限为 $l$

1） $l=+infty$ 下散上散

2） $l=0$ 下收上收

3） $0lt l lt +infty$ 上下同敛散

比的比较判别法： $frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ 与 $frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ 进行比较

常用Taylor展开来搞。