暑期自习的时候顺便把这学期线性代数学习的知识点汇总整理一下,顺便测试一下markdown的支持情况
n维向量
概念
- 定义1：由数
\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。 - 定义2：向量的模:
||a||=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_3^2}
n维向量的线性运算
- 加法
- 减法
- 数乘
线性组合
- 设向量
\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m，若存在一组数k_1,k_2,...k_m使\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m，则称向量\beta可由向量\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性表示，或称向量\beta是它们的线性组合
向量组的等价
- 设有两个n维向量组，I和II，若I中每个向量都可由向量组II线性表示，则称向量组I可由向量组II线性表示；若它们可以相互线性表示，则称它们等价
- 向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性
- 等价的向量组有相同的秩，反过来不一定成立
线性相关性
定义
设向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m，若存在一组不全为零的数k_1,k_2,...k_m使 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0，则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关
- 当向量组只含一个向量时，若该向量是零向量，则它线性相关，否则线性无关
- 两个向量时，线性相关的充要条件是其对应分量成比例
- 任一含有零向量的向量组线性相关
相关性的判定定理
定理一 向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m>=2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1向量线性表示
定理二 设向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m (m>=2)线性无关，而向量组\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性相关，则\beta可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性表示且表示式唯一
定理三 在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。逆定理不对。
- 推论 一个线性无关的向量组任何非空的部分向量组都线性无关
定理四 m个n维向量\alpha_i=(\alpha_i1,\alpha_i2,...,\alpha_im),(i=1,2,...)线性相关的充要条件是由αi构成的矩阵的秩r(A) < m
- 推论1 当m>n时，m个n维向量线性相关 (秩取m与n中最小的一个)
- 推论2 任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵的秩r(A)=m
- 推论3 任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于0，或r(A)=n (克莱姆法则)
- 推论4 任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零，或r(A)< n (克莱姆法则)
定理五 若m个r维向量线性无关，则对应m个r+1维向量也线性无关
- 即线性无关的向量组，添加分量后仍旧线性无关
向量组的极大无关组
定义一 设向量组T的部分向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r满足:
(1)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关；
(2) T中向量均可由\alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示,
或T中任一向量\alpha, 有\alpha,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性相关，则称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
- 两层含义：1.无关性 2.极大性
- 线性无关向量组的极大无关组就是其本身
- 向量组与其极大无关组等价;
- 同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的，且所含个数相同
定理1：设有两个n维向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r和\beta_1,\beta_2,...,\beta_s，若向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关，且可由向量组\beta_1,\beta_2,...,\beta_s线性表示，则 r<=s
- 推论1：若向量组α₁,α₂,...,αr可由向量组β₁,β₂,...,βs线性表示，且r>s，则向量组α₁,α₂,...,αr线性相关
- 推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。
极大无关组的求法:列摆行变换法
- 列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在每一高度上取一个向量，相同高度取左，即可得到极大无关组。
- 行摆行变换不行
向量组的秩
定义：向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为r(α₁,α₂,...,αm)
- 线性无关的向量组的秩=向量的个数
- 向量组线性无关 等价于 秩=向量个数。
定理3：若α₁,α₂,...,αm可由β₁,β₂,...,βs线性表示，则r(α₁,α₂,...,αm) <= r(β₁,β₂,...,βs)
定理4 ：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩。
- 推论：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。
向量空间
向量空间及其子空间
定义1（运算的封闭性）设V是n维向量的非空集合，称V对于向量加法及数乘两种运算封闭，如果\forall \alpha,\beta \in V,k \in R \Rightarrow \alpha + \beta \in V ,k\alpha \in V成立
定义2 设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。
设W,V为向量空间，若W \subset V，则 称W是V的子空间。
向量空间的基与维数
定义3 若n维向量空间V中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r满足
(1)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性无关
(2)V中向量均可用\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示
则称它们为V的一个基
定义4 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数
- 向量组的极大无关组和秩
- 若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性无关组，维数就是向量组的秩。
- 基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法。
定义5 向量在基下的坐标
- 向量在一组确定的基下的坐标是惟一的
- 向量空间的基不惟一。因此,向量在不同基下的坐标也不一样
- 向量在一组基下的坐标求法：待定系数法与矩阵方程法
向量组的正交性
定义1：设有向量α=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n),β=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n), \alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2 + ... + \alpha_n \beta_n称为向量α与β的内积，记为（α,β）
定义2: 若 (\alpha,\beta) =0，则称向量\alpha与\beta正交。
定义3：如果m个n维非零向量\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m两两正交，即满足(\alpha_i,\alpha_j)=0,(i \neq j)则称向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m为正交向量组，简称正交组。
定理：正交向量组线性无关
- 线性无关的向量组不一定是正交组；但可以通过正交规范化化为正交组
向量组的正交规范化：（施密特法）
\beta_m = \alpha_m - \frac{(\alpha_m,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_m,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 - ... - \frac{(\alpha_m,\beta_{m-1})}{(\beta_{m-1},\beta_{m-1})} \beta_{m-1}
- 先正交化，再单位化
定义4：若n阶方阵A满足 A^T A=E，则称A为n阶正交矩阵（正交阵）
-
性质：
- 若A为n阶正交矩阵，A的行列式=+-1
- 若A为n阶正交矩阵，A^T 与A^-1 也是正交矩阵
- 若A,B为n阶正交矩阵，AB与BA也是正交矩阵
-
方便做逆
-
判定：
- 定义运算
- 定理
定理：矩阵A=(a_{ij})_{n*n} 为正交矩阵 \Leftrightarrow A的行（列）向量组为单位正交向量组
Markdown好是好看，就是写起来太麻烦了，我是从这学期做笔记的思维导图上整理到博客来的，结果光上面这一小篇就写了一晚上....想弃坑了